Ο Θεός υπάρχει αφού τα Μαθηματικά είναι συνεπή και ο Διάβολος υπάρχει αφού δεν μπορούμε να το αποδείξουμε

To δύο χιλιάδες έξι ήταν συνδεδεμένο, εκτός όλων των άλλων που θα το συνοδεύουν στη μνήμη μας, με μια άγνωστη στους περισσότερους επέτειο, την επέτειο των εκατό χρόνων από τη γέννηση ενός μεγάλου Αυστριακού λογικοθεωρητικού του Κούρτ Γκέντελ, που υπήρξε ο άνθρωπος που απέδειξε και το περίφημο θεώρημα της μη πληρότητας και χαρακτηρίστηκε ως ο νέος «Αριστοτέλης». Πρόκειται για ένα θεώρημα που δημοσιεύτηκε το 1931 και συγκλόνισε όσο λίγα την επιστημονική κοινότητα αφού ουσιαστικά «αμφισβήτησε» την ίδια την συνέπεια των Μαθηματικών!

Αν θα θέλαμε να συνοψίσουμε το θεώρημα της μη πληρότητας και να το παρουσιάσουμε με σχετικά απλό τρόπο, χωρίς τη χρήση μαθηματικών συμβόλων, θα λέγαμε τα παρακάτω. Καταρχάς, το θεώρημα αυτό αποδείκνυε ότι κάθε θεωρία, ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική, δε μπορεί να είναι ταυτόχρονα συνεπής και πλήρης. Πιο απλά, σε μια θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική και έχει αξιώματα που είναι συνεπή, δηλαδή αξιώματα που δεν οδηγούν σε αντιφάσεις, μπορεί να κατασκευαστεί πρόταση σχετικά με τους αριθμούς που να είναι αληθής, αλλά να μην μπορεί να αποδειχθεί τυπικά από τα αξιώματα το ότι είναι αληθής! Αυτό το σκέλος του θεωρήματος όπως γίνεται εύκολα κατανοητό προκάλεσε μια έντονη αναστάτωση στους μαθηματικούς ερευνητές της εποχής και ειδικά σε αυτούς που είχαν αφιερώσει τη ζωή τους στην επίλυση κάποιου από τα ξακουστά άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών, όπως την εικασία του Γκόλντμπαχ ή την υπόθεση του Ρήμαν. Ουσιαστικά το θεώρημα αυτό εισήγαγε την αμφιβολία για την ύπαρξη ή μη της απόδειξης τέτοιων προτάσεων. Κάθε πρόταση που παρουσιαζόταν να μη βρίσκει λύση για καιρό, έθετε υποψηφιότητα για να εισαχθεί στη λίστα των προτάσεων που ίσως να ήταν αληθείς και να μην είχαν λύση. Όμως ευτυχώς αυτό δεν πτόησε ερευνητές όπως π.χ. ο Ουάιλς που μετά από το θεώρημα του Γκέντελ, προσπάθησε και τελικά απέδειξε το άλυτο μέχρι τότε τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Επίσης το θεώρημα μη πληρότητας αποδεικνύει ότι κάθε τυπική θεωρία που περιλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και ορισμένες άλλες σχετικά με την τυπική αποδειξιμότητα, περιέχει πρόταση για τη δική της συνέπεια, αν και μόνο αν είναι ασυνεπής. Δηλαδή, δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν τα αξιώματα μιας τέτοιας θεωρίας, ανεξάρτητα από την επιλογή των αξιωμάτων, για να αποδειχθεί ότι είναι η ίδια είναι συνεπής ή με άλλα λόγια για να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πρόταση που να είναι συγχρόνως αληθής και ψευδής! Βεβαίως μπορεί μια τέτοια θεωρία να είναι πράγματι συνεπής και να μην υπάρχει τέτοια πρόταση που να δημιουργεί αντίφαση αλλά αυτό που έδειξε ο Γκέντελ είναι ότι αυτό δεν μπορεί να αποδειχθεί με χρήση των αξιωμάτων της ίδιας της θεωρίας. Έτσι, σύμφωνα με τον Γκέντελ τα αξιώματα των Μαθηματικών δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδειχθεί η απουσία αντιφάσεων από το μαθηματικό οικοδόμημα. Συνεπώς, ο μόνος τρόπος για να «επιβεβαιώνουμε» τη διαίσθησή μας περί της μη αντιφατικότητας των Μαθηματικών είναι να ψάχνουμε για μια αντίφαση και να μη καταφέρνουμε να την βρούμε. Χωρίς βέβαια αυτό να αποτελεί απόδειξη της συνέπειας των Μαθηματικών.


Ο Κούρτ Γκέντελ ήταν ανήσυχο πνεύμα και χαρακτηριζόταν από μια αδηφάγο περιέργεια που του είχε προσδώσει από τη παιδική του ηλικία το χαρακτηρισμό «ο κύριος Γιατί». Στην ηλικία των έξι ετών προσβλήθηκε από ρευματικό πυρετό και παρόλο που τελικά ανάρρωσε πλήρως, για το υπόλοιπο της ζωής του παρέμεινε πεπεισμένος ότι η καρδιά του είχε υποστεί μόνιμη βλάβη. Αυτή ήταν η πρώτη έμμονη ιδέα, μια χαραμάδα παραλογισμού, που δημιουργήθηκε στο μυαλό ενός ανθρώπου που όλη του τη ζωή ασχολήθηκε με τη θεωρία της λογικής. Και δυστυχώς αργότερα θα ακολουθούσαν και άλλες. Ανάμεσα σε αυτές τις έμμονες ιδέες που είχε αργότερα αυτός ο σπουδαίος, ντροπαλός, ακοινώνητος και εκκεντρικός άνθρωπος ήταν ότι κάποιοι προσπαθούσαν να τον δολοφονήσουν με τη χρήση δηλητηριωδών αερίων. Έτσι, στο μέσο του χειμώνα συνήθιζε να αφήνει όλα τα παράθυρα του σπιτιού του ανοικτά για να προστατευθεί από τους φανταστικούς διώκτες του. Ακόμα, ενώ ο Γκέντελ ήταν κάπως φιλάσθενος και καχεκτικός, συχνά αγνοούσε τους γιατρούς του εξαιτίας της παράλογης δυσπιστίας του απέναντι τους, προκαλώντας προβλήματα στην εύθραυστη υγεία του. Μια ακόμα από τις παράλογες ιδέες που κυριάρχησαν τα τελευταία χρόνια της ζωής του ήταν ότι κάποιοι προσπαθούσαν να τον σκοτώσουν δηλητηριάζοντας το φαγητό του. Έτσι, έτρωγε μόνο το φαγητό που μαγείρευε η γυναίκα του και όταν αυτή δεν μπορούσε να μαγειρεύει πια για τον Γκέντελ – εξαιτίας μιας ασθένειας – αυτός σταμάτησε να τρώει οποιαδήποτε τροφή. Το αποτέλεσμα ήταν να πεθάνει από ασιτία και εξάντληση, ενώ ζύγιζε περίπου 30 κιλά!

Η ζωή του Γκέντελ, όπως διαπιστώνει εύκολα κάποιος που διαβάζει για αυτόν, ήταν μια ζωντανή απόδειξη του γεγονότος ότι δε μπορούμε να αποδείξουμε την απουσία των αντιφάσεων ακόμα και στα Μαθηματικά που έχουν χαρακτηριστεί μεταξύ άλλων και ως «η γλώσσα του Θεού». Τι τρομερή «αντίφαση», Ο Γκέντελ που όλη του τη ζωή ασχολήθηκε με τη λογική και συμπεριλαμβάνεται στους κορυφαίους της θεωρίας της λογικής δε μπόρεσε να ξορκίσει τον παραλογισμό και πέθανε εξαιτίας των «παράλογων» ιδεών που είχαν καρφωθεί στο μυαλό του. Η΄ ακόμα το γεγονός ότι χρησιμοποίησε τα ίδια τα Μαθηματικά για να αποδείξει ότι τα Μαθηματικά δεν αποδεικνύεται ότι δεν δίνουν αντιφάσεις. Δηλαδή χρησιμοποίησε τα Μαθηματικά για να «υπονομεύσει» τα ίδια τα Μαθηματικά! Μετά τον Γκέντελ οι μαθηματικοί πείστηκαν ότι η συνέπεια των Μαθηματικών δεν αποδεικνύεται, παρόλο που διαισθάνονται ότι είναι μια πραγματικότητα. Σίγουρα, μια βασανιστική παραδοχή που συνοψίζεται από τη φράση του Αντρέ Βέιλ: «Ο Θεός υπάρχει αφού τα Μαθηματικά είναι συνεπή και ο Διάβολος υπάρχει αφού δεν μπορούμε να το αποδείξουμε»!

Πηγές: 1.Η μουσική των πρώτων αριθμών, Du Sautoy, εκδ. Τραυλός 2.Από την παράνοια στους Αλγορίθμους, Απόστολος Δοξιάδης, εκδ. Ίκαρος 3.Για το Θεώρημα μη-πληρότητας του Godel, V.A. Uspensky, εκδ. Τροχαλία