Τα "μαθηματικά των αγορών" προβλέπουν νίκη Ομπάμα

Στα τέλη του προηγούμενου μήνα παρακολουθήσαμε το συνέδριο των Δημοκρατικών και την αποδοχή του χρίσματος του κόμματος, από τον αδιαμφισβήτητα χαρισματικό γερουσιαστή του Ιλονόι, τον Μπάρακ Ομπάμα. Τον αφροαμερικανό υποψήφιο, που φαίνεται να εμπνέει πολλούς Αμερικανούς - και πολλούς περισσότερους Ευρωπαίους είναι αλήθεια - με το σύνθημά του για αλλαγή, την ρητορική του δεινότητα και την καλλιέργειά του, αλλά και το φιλελεύθερο όραμα του που κομίζει μεταξύ άλλων εμφατικά και την παράδοση των πολιτικών δικαιωμάτων και ελευθεριών του Δημοκρατικού κόμματος, καθώς και αυτή της κοινωνικής δικαιοσύνης. Πριν το συνέδριο των Δημοκρατικών είχαν βγει στο φως δημοσκοπήσεις που έδειχναν ότι ο υποψήφιος των Ρεπουμπλικανών, Τζον Μακέιν, είχε καλύψει την διαφορά των 7 ποσοστιαίων μονάδων που τον χώριζαν τον Ιούλιο από τον Ομπάμα και σε μια μάλιστα εξ αυτών ο Μακέιν παρουσιαζόταν να προηγείται με διαφορά 5%. Όμως μετά το συνέδριο, τα πράγματα άλλαξαν και σε δημοσκόπηση που διενεργήθηκε για λογαριασμό του CBS μάθαμε ότι ο Ομπάμα ήταν και πάλι μπροστά, με 8 ποσοστιαίες μονάδες. Λίγες μέρες μετά βρισκόταν στην επικαιρότητα το συνέδριο των Ρεπουμπλικανών αυτή τη φορά, κατά τη διάρκεια του οποίου μάθαμε ότι το χρίσμα του κόμματος δόθηκε - ως αναμενόταν μετά τις προκριματικές εκλογές - στον Ρεπουμπλικανό γερουσιαστή της Αριζόνα, τον 72χρονο Τζον Μακέιν, ο οποίος όμως σε αντίθεση με τον Ομπάμα δεν φαίνεται να ενθουσίασε με την ομιλία που εκφώνησε για την αποδοχή του χρίσματος. Κι όμως, η εταιρία μελετών ΜΜΕ, Nielsen Media Research, ανακοίνωσε πως 500 χιλιάδες περισσότεροι τηλεθεατές παρακολούθησαν την ομιλία του Μακέιν, σε σχέση με τον αντίστοιχο αριθμό που παρακολούθησε την ομιλία αποδοχής του χρίσματος από τον Ομπάμα. Και εκτός αυτού η διαφορά υπέρ του αφροαμερικανού υποψηφίου εξανεμίστηκε ξανά, σύμφωνα με δημοσκόπηση του δικτύου CBS που παρουσιάστηκε αμέσως μετά το συνέδριο. Ενώ σύμφωνα με δύο άλλες δημοσκοπήσεις των εταιρειών Rasmussen και Gallup, που δημοσιεύτηκαν λίγο αργότερα, ο Μακέιν είναι μπροστά με 1 και 4 ποσοστιαίες μονάδες αντίστοιχα.

Συνεπώς, κάθε σοβαρός και αμερόληπτος πολιτικός αναλυτής, που αναζητάει επιστημονική τεκμηρίωση για την όποια εκτίμησή του σχετικά με το αποτέλεσμα των προεδρικών εκλογών στις ΗΠΑ καταλήγει χωρίς δεύτερη σκέψη (βασιζόμενος στις δημοκοπικές έρευνες για την αποτύπωση της εκλογικής συμπεριφοράς των Αμερικανών) στο ότι η αναμέτρηση αναμένεται να είναι εξαιρετικά αμφίρροπη. Δηλαδή σε μια εκτίμηση που μοιάζει κάπως παράδοξη, αν αναλογιστούμε τη λάμψη του Ομπάμα, τις δύο διαδοχικές θητείες των νεοσυντηρητικών και την άχρωμη υποψηφιότητα του Μακέιν (στην οποία προσωπικά νομίζω πολύ λίγο χρώμα προσθέτει η παρουσία της συντηρητικής αντιπροέδρου Σάρας Πέιλιν, που έχει πάρει τη δεύτερη θέση σε διαγωνισμό ομορφιάς για την ανάδειξη της miss Alaska, υποστηρίζει το δικαίωμα στην οπλοκατοχή και αντιτίθεται στις εκτρώσεις). Κι' όμως δεν είναι απλά μια παράδοξη εκτίμηση, αλλά μια λαθεμένη εκτίμηση! Αυτό τουλάχιστον υποδεικνύει ένα ερευνητικό εργαλείο του πανεπιστημίου της Ιοwa, που δείχνει επικράτηση του Μπάρακ Ομπάμα, αμφισβητώντας παράλληλα και την δεσπόζουσα θέση των δημοσκοπήσεων ως εργαλείων για την εκτίμηση του εκλογικού αποτελέσματος! Το ερευνητικό αυτό εργαλείο αποκαλείται Iowa Electronic Markets (Ι.Ε.Μ.) (δείτε εδώ)

Οι ηλεκτρονικές αγορές της Αϊόβα (Iowa Electronic Markets) έχουν δημιουργηθεί από το προσωπικό του Henry B. Tippie College of Business του Πανεπιστημίου της Αϊόβα, με στόχο αφενός ερευνητικό - την πρόβλεψη της έκβασης διαφόρων γεγονότων - και αφετέρου παιδαγωγικό, όπως μπορεί κανείς να διαβάσει στην ιστοσελίδα του πανεπιστημίου. Πρόκειται για αγορές συμβολαίων μελλοντικής εκπλήρωσης (futures contracts) (#) στις οποίες οι συναλλαγές γίνονται με πραγματικά χρήματα και στις οποίες οι πρόσοδοι των συμβολαίων που διαπραγματεύονται εκεί εξαρτώνται από τα πολιτικά ή οικονομικά γεγονότα, των οποίων την έκβαση θέλουν οι επιστήμονες να προβλέψουν. Προφανέστατα, πέραν όλων των άλλων γεγονότων, δεν θα μπορούσαν οι επικείμενες προεδρικές εκλογές που θα πραγματοποιηθούν τον Νοέμβριο στις Η.Π.Α. να μην αποτελούν αντικείμενο μελέτης μέσω των ΙΕΜ, ώστε να γίνει μια πρόβλεψη για την τελική τους έκβαση. Έτσι, για το σκοπό αυτό δημιουργήθηκαν δύο futures, ένα «δημοκρατικό» και ένα «ρεπουμπλικανικό». Το δημοκρατικό συμβόλαιο πληρώνει 1$, αν το Δημοκρατικό κόμμα συγκεντρώσει την πλειοψηφία των ψήφων στις εκλογές και 0$ αν συμβεί το αντίθετο, ενώ το ρεπουμπλικανικό πληρώνει αντίστοιχα 1$ σε περίπτωση που πλειοψηφήσει ο ρεπουμπλικανός υποψήφιος και μηδέν, διαφορετικά. Αυτά λοιπόν τα πολιτικά futures διαπραγματεύονται από τον Ιούνιο του 2006 στις ηλεκτρονικές αγορές της Αϊόβα - σημειωτέον ο καθένας απ' όποιο σημείο της γης μπορεί να ανοίξει ένα λογαριασμό και να επενδύσει στη νίκη του Ομπάμα ή στη νίκη του Μακέιν - και από αυτή τη διαπραγμάτευση, μέσω της προσφοράς και της ζήτησης, προκύπτουν οι τιμές των συμβολαίων. Σήμερα λοιπόν το δημοκρατικό συμβόλαιο μελλοντικής εκπλήρωσης, αυτό του Μπάρακ Ομπάμα, διαπραγματεύεται στα 0.61$ και αυτό του Τζον Μακέιν στα 0.391$ (παρουσιάζοντας οριακή ενίσχυση) (##). Παράλληλα, είναι αρκετά εντυπωσιακό πως το συμβόλαιο του Ομπάμα είναι ακριβότερο από αυτό του Μακέιν σταθερά και ότι ποτέ το ρεπουμπλικανικό συμβόλαιο του 72χρονου γερουσιαστή της Αριζόνα δεν έχει αποκτήσει τιμή μεγαλύτερη από αυτή του συμβολαίου του δημοκρατικού γερουσιαστή του Ιλονόι (Δείτε τον παρακάτω πίνακα με τις ιστορικές τιμές των συμβολαίων, όπου με μπλε χρώμα απεικονίζονται οι τιμές των συμβολαίων του δημοκρατικού υποψηφίου και με κόκκινο αυτές του συμβολαίου του ρεπουμπλικανού). Πρέπει να σημειωθεί εδώ το εξής: το γεγονός πως το παράγωγο του αφροαμερικανού υποψηφίου είναι ακριβότερο από αυτό του ρεπουμπλικανού, προφανώς αντανακλά το ότι ότι η πολιτική αγορά παραγώγων της Αϊόβα (ή αλλιώς όσοι συμμετέχουν στις αγοραπωλησίες συμβολαίων με αντικείμενο τις Αμερικανικές προεδρικές εκλογές) αποδίδει μεγαλύτερη πιθανότητα στην νίκη του δημοκρατικού υποψηφίου σε σχέση με την πιθανότητα που δίνει στην επικράτηση Μακέιν (###). Οπότε, για να επανέλθω σε αυτό που έγραφα παραπάνω περί της εκτίμησης που κάνει κάθε σοβαρός και αμερόληπτος πολιτικός αναλυτής για τις προεδρικές εκλογές, το προγνωστικό εργαλείο του πανεπιστημίου της Αϊόβα δείχνει ότι η μάχη δεν είναι καθόλου αμφίρροπη. Οι ηλεκτρονικές αγορές δείχνουν με συνέπεια όλους αυτούς τους μήνες της διαπραγμάτευσης των συμβολαίων ότι η νίκη του Μπάρακ Ομπάμα είναι αρκετά πιο πιθανή από τη νίκη Τζον Μακέιν.

Και για όσους σπεύσουν να αμφισβητήσουν το προγνωστικό εργαλείο των αγορών ως μέθοδο για την πρόβλεψη του εκλογικού αποτελέσματος, υιοθετώντας την εκτίμηση των δημοσκοπήσεων και περιφρονώντας την εκτίμηση των ηλεκτρονικών αγορών της Αϊόβα που στέλνουν τον αφροαμερικανό υποψήφιο στο οβάλ γραφείο του Λευκού Οίκου, μια απάντηση δίνουν οι καθηγητές: Joyce Berg, Forrest Nelson και Thomas Rietz. Μια απάντηση με την μορφή μιας επιστημονικής εργασίας που φέρει τον τίτλο: "Prediction market accuracy in the long run" (δείτε εδώ). Σε αυτήν οι τρείς καθηγητές συγκρίνουν την πρόβλεψη των δημοσκοπήσεων για το αποτέλεσμα των Αμερικανικών προεδρικών εκλογών (από το 1988 που λειτουργούν οι ηλεκτρονικές αγορές της Αϊόβα) με την αντίστοιχη πρόβλεψη των αγορών και καταλήγουν σε ένα εξαιρετικά εντυπωσιακό συμπέρασμα. Οι αγορές ήταν πλησιέστερα στο τελικό αποτέλεσμα, που καταγράφηκε στις κάλπες, το 74% της χρονικής περιόδου πριν τις εκλογές! Και ταυτόχρονα, σε κάθε εκλογική αναμέτρηση τα τελευταία 20 χρόνια οι αγορές λειτούργησαν σε σημαντικό βαθμό καλύτερα συγκριτικά με τις δημοσκοπήσεις, όταν η πρόβλεψη αφορούσε χρονικό σημείο που απείχε περισσότερο από 100 μέρες από τις εκλογές.

Παρατήρηση:

Οι παρακάτω σημειώσεις προσφέρονται συμπληρωματικά προς την ανάρτηση για όσους θα ήθελαν να εμβαθύνουν λίγο περισσότερο σε σχέση με τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης, τα πολιτικά συμβόλαια των ΙΕΜ και το πως αυτά σχετίζονται με τις πιθανότητες νίκης των υποψηφίων.

Σημειώσεις:

(#) Futures contract είναι ένα παράγωγο προϊόν, το οποίο ουσιαστικά αποτελεί μια συμφωνία ανάμεσα σε δύο μέρη για την αγορά ή την πώληση ενός περιουσιακού στοιχείου σε συγκεκριμένη τιμή (που λέγεται delivery price) σε μια μελλοντική χρονική στιγμή. Τα μεγαλύτερα χρηματιστήρια στα οποία διαπραγματεύονται futures contracts είναι το Chicago Board of Trade και το Chicago Mercantile Exchange.

(##) Τα συγκεκριμένα προϊόντα, δηλαδή το συμβόλαιο Ομπάμα και το συμβόλαιο Μακέιν, είναι futures contracts με τιμή παράδοσης (delivery price) μια τιμή που προκύπτει για το καθένα από την διαπραγμάτευση στην αγορά (επί παραδείγματι οι τιμές παράδοσης είναι σήμερα 0.61$ και 0.391$ αντίστοιχα) και υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο, ένα δημοκρατικό "εικονικό προϊόν" και ένα ρεπουμπλικανικό "εικονικό προϊόν". Το δημοκρατικό αξίζει 1$ αν κερδίσει την πλειοψηφία των ψήφων ο δημοκρατικός υποψήφιος και μηδέν διαφορετικά και το ρεπουμπλικανικό αξίζει 0$ αν πλειοψηφήσει ο Ομπάμα και 1$ διαφορετικά. Οπότε, το γεγονός ότι η τιμή του δημοκρατικού futures contract είναι 0.61$ σημαίνει πως ο επενδυτής που παίρνει θέση αγοράς σε αυτό το συμβόλαιο αποκτά την υποχρέωση να καταβάλει σε ένα μελλοντικό χρονικό σημείο (μετά τις εκλογές) 61 cents και να αποκτήσει το "εικονικό προϊόν", δηλ. 1$ αν έχει κερδίσει ο αφροαμερικανός υποψήφιος και $ο αν έχει κερδίσει ο ρεπουμπλικανός.

(###) Για λόγους απλότητας, ας πάρουμε την περίπτωση ενός ουδέτερου ως προς τον κίνδυνο επενδυτή (risk neutral investor). Ο εν λόγω επενδυτής αντιμετωπίζει ουδέτερα την απόκτηση του παραγώγου του Ομπάμα για το οποίο θα ήταν αναγκασμένος να πληρώσει 0.61$, αν ο ίδιος δίνει πιθανότητα 0.61 στο ενδεχόμενο της νίκης του Μπάρακ Ομπάμα. Και αυτό συμβαίνει γιατί το γεγονός πως δίνει πιθανότητα 0.61 στην δημοκρατική επικράτηση, σημαίνει ότι η αναμενόμενη τιμή (μέση τιμή) του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου, δηλαδή του δημοκρατικού "εικονικού προϊόντος" που λέγαμε παραπάνω είναι 0.61$. Θυμίζω ότι σε περίπτωση δημοκρατικής πλειοψηφίας (στην οποία δίνει πιθανότητα 0.61) θα εισπράξει 1$ και σε αντίθετη περίπτωση (στην οποία δίνει πιθανότητα 0.39) ο$. Με άλλα λόγια, η ωφελιμότητα του από την απόκτηση ενός συμβολαίου που τον υποχρεώνει να αγοράσει με 0.61$ ένα "εικονικό προϊόν" με αναμενόμενη τιμή 61 cents, με την ωφελιμότητα της μη απόκτησης του συμβολαίου είναι η ίδια και συνεπώς ο επενδυτής ουδέτερα αυτό το συγκεκριμένο συμβόλαιο. Όμως, αν πιστεύει ότι ο αφροαμερικανός υποψήφιος θα εκλεγεί για παράδειγμα με πιθανότητα 0.62, θα σπεύσει να αποκτήσει ένα συμβόλαιο το οποίο τον δεσμεύει να πληρώσει 0.61$ και να αγοράσει ένα "εικονικό προϊόν" με αναμενόμενη τιμή 0.62$, γιατί σε αυτή την περίπτωση η ωφελιμότητα της απόκτησης του futures contract θα είναι μεγαλύτερη. Προεκτείνοντας τα παραπάνω, το γεγονός πως ένας ουδέτερος ως προς τον κίνδυνο (ορθολογικός) επενδυτής είναι διατεθειμένος να συνάψει ένα futures contract του Μακέιν ή του Ομπάμα με τιμή παράδοσης a$, όπου a μεγαλύτερο του μηδέν και μικρότερο του 1, σημαίνει ότι ο ίδιος αποδίδει πιθανότητα μεγαλύτερη του a στην επικράτηση του υποψηφίου, του οποίου η νίκη πληρώνει 1$. Αντίστοιχα με το παραπάνω, θα μπορούσαμε να μελετήσουμε και την συμπεριφορά ενός κινδυνοφοβικού (risk aversion) επενδυτή καθώς και ενός κινδυνόφιλου (risk prone), οι οποίοι έχουν διαφορετικές συναρτήσεις οφελιμότητας - τόσο μεταξύ τους όσο και με τον ουδέτερο ως προς τον κίνδυνο επενδυτή - και ως εκ τούτου σταθμίζουν διαφορετικά την απόκτηση ενός futures contract ακόμα και όταν συμφωνούν ώς προς την πιθανότητα νίκης των δύο υποψηφίων.

Ο Θεός υπάρχει αφού τα Μαθηματικά είναι συνεπή και ο Διάβολος υπάρχει αφού δεν μπορούμε να το αποδείξουμε

To δύο χιλιάδες έξι ήταν συνδεδεμένο, εκτός όλων των άλλων που θα το συνοδεύουν στη μνήμη μας, με μια άγνωστη στους περισσότερους επέτειο, την επέτειο των εκατό χρόνων από τη γέννηση ενός μεγάλου Αυστριακού λογικοθεωρητικού του Κούρτ Γκέντελ, που υπήρξε ο άνθρωπος που απέδειξε και το περίφημο θεώρημα της μη πληρότητας και χαρακτηρίστηκε ως ο νέος «Αριστοτέλης». Πρόκειται για ένα θεώρημα που δημοσιεύτηκε το 1931 και συγκλόνισε όσο λίγα την επιστημονική κοινότητα αφού ουσιαστικά «αμφισβήτησε» την ίδια την συνέπεια των Μαθηματικών!

Αν θα θέλαμε να συνοψίσουμε το θεώρημα της μη πληρότητας και να το παρουσιάσουμε με σχετικά απλό τρόπο, χωρίς τη χρήση μαθηματικών συμβόλων, θα λέγαμε τα παρακάτω. Καταρχάς, το θεώρημα αυτό αποδείκνυε ότι κάθε θεωρία, ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική, δε μπορεί να είναι ταυτόχρονα συνεπής και πλήρης. Πιο απλά, σε μια θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική και έχει αξιώματα που είναι συνεπή, δηλαδή αξιώματα που δεν οδηγούν σε αντιφάσεις, μπορεί να κατασκευαστεί πρόταση σχετικά με τους αριθμούς που να είναι αληθής, αλλά να μην μπορεί να αποδειχθεί τυπικά από τα αξιώματα το ότι είναι αληθής! Αυτό το σκέλος του θεωρήματος όπως γίνεται εύκολα κατανοητό προκάλεσε μια έντονη αναστάτωση στους μαθηματικούς ερευνητές της εποχής και ειδικά σε αυτούς που είχαν αφιερώσει τη ζωή τους στην επίλυση κάποιου από τα ξακουστά άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών, όπως την εικασία του Γκόλντμπαχ ή την υπόθεση του Ρήμαν. Ουσιαστικά το θεώρημα αυτό εισήγαγε την αμφιβολία για την ύπαρξη ή μη της απόδειξης τέτοιων προτάσεων. Κάθε πρόταση που παρουσιαζόταν να μη βρίσκει λύση για καιρό, έθετε υποψηφιότητα για να εισαχθεί στη λίστα των προτάσεων που ίσως να ήταν αληθείς και να μην είχαν λύση. Όμως ευτυχώς αυτό δεν πτόησε ερευνητές όπως π.χ. ο Ουάιλς που μετά από το θεώρημα του Γκέντελ, προσπάθησε και τελικά απέδειξε το άλυτο μέχρι τότε τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Επίσης το θεώρημα μη πληρότητας αποδεικνύει ότι κάθε τυπική θεωρία που περιλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και ορισμένες άλλες σχετικά με την τυπική αποδειξιμότητα, περιέχει πρόταση για τη δική της συνέπεια, αν και μόνο αν είναι ασυνεπής. Δηλαδή, δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν τα αξιώματα μιας τέτοιας θεωρίας, ανεξάρτητα από την επιλογή των αξιωμάτων, για να αποδειχθεί ότι είναι η ίδια είναι συνεπής ή με άλλα λόγια για να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πρόταση που να είναι συγχρόνως αληθής και ψευδής! Βεβαίως μπορεί μια τέτοια θεωρία να είναι πράγματι συνεπής και να μην υπάρχει τέτοια πρόταση που να δημιουργεί αντίφαση αλλά αυτό που έδειξε ο Γκέντελ είναι ότι αυτό δεν μπορεί να αποδειχθεί με χρήση των αξιωμάτων της ίδιας της θεωρίας. Έτσι, σύμφωνα με τον Γκέντελ τα αξιώματα των Μαθηματικών δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδειχθεί η απουσία αντιφάσεων από το μαθηματικό οικοδόμημα. Συνεπώς, ο μόνος τρόπος για να «επιβεβαιώνουμε» τη διαίσθησή μας περί της μη αντιφατικότητας των Μαθηματικών είναι να ψάχνουμε για μια αντίφαση και να μη καταφέρνουμε να την βρούμε. Χωρίς βέβαια αυτό να αποτελεί απόδειξη της συνέπειας των Μαθηματικών.


Ο Κούρτ Γκέντελ ήταν ανήσυχο πνεύμα και χαρακτηριζόταν από μια αδηφάγο περιέργεια που του είχε προσδώσει από τη παιδική του ηλικία το χαρακτηρισμό «ο κύριος Γιατί». Στην ηλικία των έξι ετών προσβλήθηκε από ρευματικό πυρετό και παρόλο που τελικά ανάρρωσε πλήρως, για το υπόλοιπο της ζωής του παρέμεινε πεπεισμένος ότι η καρδιά του είχε υποστεί μόνιμη βλάβη. Αυτή ήταν η πρώτη έμμονη ιδέα, μια χαραμάδα παραλογισμού, που δημιουργήθηκε στο μυαλό ενός ανθρώπου που όλη του τη ζωή ασχολήθηκε με τη θεωρία της λογικής. Και δυστυχώς αργότερα θα ακολουθούσαν και άλλες. Ανάμεσα σε αυτές τις έμμονες ιδέες που είχε αργότερα αυτός ο σπουδαίος, ντροπαλός, ακοινώνητος και εκκεντρικός άνθρωπος ήταν ότι κάποιοι προσπαθούσαν να τον δολοφονήσουν με τη χρήση δηλητηριωδών αερίων. Έτσι, στο μέσο του χειμώνα συνήθιζε να αφήνει όλα τα παράθυρα του σπιτιού του ανοικτά για να προστατευθεί από τους φανταστικούς διώκτες του. Ακόμα, ενώ ο Γκέντελ ήταν κάπως φιλάσθενος και καχεκτικός, συχνά αγνοούσε τους γιατρούς του εξαιτίας της παράλογης δυσπιστίας του απέναντι τους, προκαλώντας προβλήματα στην εύθραυστη υγεία του. Μια ακόμα από τις παράλογες ιδέες που κυριάρχησαν τα τελευταία χρόνια της ζωής του ήταν ότι κάποιοι προσπαθούσαν να τον σκοτώσουν δηλητηριάζοντας το φαγητό του. Έτσι, έτρωγε μόνο το φαγητό που μαγείρευε η γυναίκα του και όταν αυτή δεν μπορούσε να μαγειρεύει πια για τον Γκέντελ – εξαιτίας μιας ασθένειας – αυτός σταμάτησε να τρώει οποιαδήποτε τροφή. Το αποτέλεσμα ήταν να πεθάνει από ασιτία και εξάντληση, ενώ ζύγιζε περίπου 30 κιλά!

Η ζωή του Γκέντελ, όπως διαπιστώνει εύκολα κάποιος που διαβάζει για αυτόν, ήταν μια ζωντανή απόδειξη του γεγονότος ότι δε μπορούμε να αποδείξουμε την απουσία των αντιφάσεων ακόμα και στα Μαθηματικά που έχουν χαρακτηριστεί μεταξύ άλλων και ως «η γλώσσα του Θεού». Τι τρομερή «αντίφαση», Ο Γκέντελ που όλη του τη ζωή ασχολήθηκε με τη λογική και συμπεριλαμβάνεται στους κορυφαίους της θεωρίας της λογικής δε μπόρεσε να ξορκίσει τον παραλογισμό και πέθανε εξαιτίας των «παράλογων» ιδεών που είχαν καρφωθεί στο μυαλό του. Η΄ ακόμα το γεγονός ότι χρησιμοποίησε τα ίδια τα Μαθηματικά για να αποδείξει ότι τα Μαθηματικά δεν αποδεικνύεται ότι δεν δίνουν αντιφάσεις. Δηλαδή χρησιμοποίησε τα Μαθηματικά για να «υπονομεύσει» τα ίδια τα Μαθηματικά! Μετά τον Γκέντελ οι μαθηματικοί πείστηκαν ότι η συνέπεια των Μαθηματικών δεν αποδεικνύεται, παρόλο που διαισθάνονται ότι είναι μια πραγματικότητα. Σίγουρα, μια βασανιστική παραδοχή που συνοψίζεται από τη φράση του Αντρέ Βέιλ: «Ο Θεός υπάρχει αφού τα Μαθηματικά είναι συνεπή και ο Διάβολος υπάρχει αφού δεν μπορούμε να το αποδείξουμε»!

Πηγές: 1.Η μουσική των πρώτων αριθμών, Du Sautoy, εκδ. Τραυλός 2.Από την παράνοια στους Αλγορίθμους, Απόστολος Δοξιάδης, εκδ. Ίκαρος 3.Για το Θεώρημα μη-πληρότητας του Godel, V.A. Uspensky, εκδ. Τροχαλία